3x^2+17x+10=0 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx+10 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 17.

$$a=2 b=15$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}+17x+10) \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right) alakban.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 5 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x+2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 3x+2=0 és x+5=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 17 értéket b-be és a(z) 10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 289 és -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-17±13}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -17 és 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

A törtet (\frac{-4}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-17±13}{6}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

-30 elosztása a következővel: 6.

$$x=-5$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

Ha kivonjuk a(z) 10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{17}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{17}{6}. Ezután hozzáadjuk \frac{17}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

A(z) \frac{17}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

-\frac{10}{3} és \frac{289}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

A(z) x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{17}{6}.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$