3x^2+11x=-24 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1,833333333+2,153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1,833333333-2,153807997i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 24.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -24 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

-24 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 11 értéket b-be és a(z) 24 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -167.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -11 és i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}). ± előjele negatív. i\sqrt{167} kivonása a következőből: -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

-24 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Elosztjuk a(z) \frac{11}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{11}{6}. Ezután hozzáadjuk \frac{11}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

A(z) \frac{11}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Összeadjuk a következőket: -8 és \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{11}{6}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$