29x^2+8x+7=0 megoldása

$$29 x ^ { 2 } + 8 x + 7 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}\approx -0,137931034+0,471544632i$$

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}\approx -0,137931034-0,471544632i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 29 értéket a-ba, a(z) 8 értéket b-be és a(z) 7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 29.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-116\times 7}}{2\times 29}$$

Összeszorozzuk a következőket: -116 és 7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-812}}{2\times 29}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és -812.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-748}}{2\times 29}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -748.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{2\times 29}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 29.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -8 és 2i\sqrt{187}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{187}i}{58}$$

-8+2i\sqrt{187} elosztása a következővel: 58.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{187} kivonása a következőből: -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{187}i-8}{58}$$

-8-2i\sqrt{187} elosztása a következővel: 58.

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 7.

$$29x^{2}+8x+7-7=-7$$

Ha kivonjuk a(z) 7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$29x^{2}+8x=-7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 29.

$$\frac{29x^{2}+8x}{29}=-\frac{7}{29}$$

A(z) 29 értékkel való osztás eltünteti a(z) 29 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x=-\frac{7}{29}$$

Elosztjuk a(z) \frac{8}{29} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{4}{29}. Ezután hozzáadjuk \frac{4}{29} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{7}{29}+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}$$

A(z) \frac{4}{29} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{7}{29}+\frac{16}{841}$$

-\frac{7}{29} és \frac{16}{841} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{187}{841}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{187}{841}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{187}{841}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{4}{29}=\frac{\sqrt{187}i}{29} x+\frac{4}{29}=-\frac{\sqrt{187}i}{29}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{4}{29}.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$