28x-6x^2=80 megoldása

$$28 x - 6 x ^ { 2 } = 80$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{3}\approx 2,333333333+2,808716591i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{3}\approx 2,333333333-2,808716591i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-6x^{2}+28x=80$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 80.

$$-6x^{2}+28x-80=80-80$$

Ha kivonjuk a(z) 80 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-6x^{2}+28x-80=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -6 értéket a-ba, a(z) 28 értéket b-be és a(z) -80 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-6\right)\left(-80\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-6\right)\left(-80\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -6.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+24\left(-80\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 24 és -80.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-1920}}{2\left(-6\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 784 és -1920.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-1136}}{2\left(-6\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -1136.

$$x=\frac{-28±4\sqrt{71}i}{2\left(-6\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -6.

$$x=\frac{-28±4\sqrt{71}i}{-12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-28±4\sqrt{71}i}{-12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -28 és 4i\sqrt{71}.

$$x=\frac{-28+4\sqrt{71}i}{-12}$$

-28+4i\sqrt{71} elosztása a következővel: -12.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-28±4\sqrt{71}i}{-12}). ± előjele negatív. 4i\sqrt{71} kivonása a következőből: -28.

$$x=\frac{-4\sqrt{71}i-28}{-12}$$

-28-4i\sqrt{71} elosztása a következővel: -12.

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{3} x=\frac{7+\sqrt{71}i}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-6x^{2}+28x=80$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -6.

$$\frac{-6x^{2}+28x}{-6}=\frac{80}{-6}$$

A(z) -6 értékkel való osztás eltünteti a(z) -6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{28}{-6}x=\frac{80}{-6}$$

A törtet (\frac{28}{-6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=\frac{80}{-6}$$

A törtet (\frac{80}{-6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=-\frac{40}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{14}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=-\frac{40}{3}+\frac{49}{9}$$

-\frac{40}{3} és \frac{49}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=-\frac{71}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{71}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{3}=\frac{\sqrt{71}i}{3} x-\frac{7}{3}=-\frac{\sqrt{71}i}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{3}.

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{3} x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{3}$$