28r^3+7r=40r^2+10 megoldása

$$28 r ^ { 3 } + 7 r = 40 r ^ { 2 } + 10$$

Megoldás a(z) r változóra

$$r = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1,428571429$$

A megoldás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 40r^{2}.

$$28r^{3}+7r-40r^{2}=10$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 10.

$$28r^{3}+7r-40r^{2}-10=0$$

Átrendezzük az egyenletet, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$28r^{3}-40r^{2}+7r-10=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -10 állandónak, és q osztója a(z) 28 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{5}{14},±\frac{5}{7},±\frac{10}{7},±\frac{5}{2},±5,±10,±\frac{5}{28},±\frac{5}{4},±\frac{1}{14},±\frac{1}{7},±\frac{2}{7},±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{28},±\frac{1}{4}$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$r=\frac{10}{7}$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) r-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 28r^{3}-40r^{2}+7r-10 értéket a(z) 7\left(r-\frac{10}{7}\right)=7r-10 értékkel. Az eredmény 4r^{2}+1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$4r^{2}+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$r=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$r=\frac{0±\sqrt{-16}}{8}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$r\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$r=\frac{10}{7}$$

Megoldás a(z) r változóra (complex solution)

$$r=-\frac{1}{2}i=-0,5i$$

$$r = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1,428571429$$

$$r=\frac{1}{2}i=0,5i$$