28k^2+k-2=0 megoldása

$$28 k ^ { 2 } + k - 2 = 0$$

Megoldás a(z) k változóra

$$k=\frac{1}{4}=0,25$$

$$k=-\frac{2}{7}\approx -0,285714286$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 28k^{2}+ak+bk-2 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=1 ab=28\left(-2\right)=-56$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 1.

$$a=-7 b=8$$

Átírjuk az értéket (28k^{2}+k-2) \left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right) alakban.

$$\left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right)$$

Kiemeljük a(z) 7k tényezőt az első, a(z) 2 tényezőt pedig a második csoportban.

$$7k\left(4k-1\right)+2\left(4k-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 4k-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(4k-1\right)\left(7k+2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 4k-1=0 és 7k+2=0.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$28k^{2}+k-2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 28 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-112\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Összeszorozzuk a következőket: -112 és -2.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\times 28}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 224.

$$k=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\times 28}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 225.

$$k=\frac{-1±15}{2\times 28}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 28.

$$k=\frac{-1±15}{56}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-1±15}{56}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1 és 15.

$$k=\frac{14}{56}$$

A törtet (\frac{14}{56}) leegyszerűsítjük 14 kivonásával és kiejtésével.

$$k=\frac{1}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-1±15}{56}). ± előjele negatív. 15 kivonása a következőből: -1.

$$k=-\frac{16}{56}$$

A törtet (\frac{-16}{56}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$k=-\frac{2}{7}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$28k^{2}+k-2=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$28k^{2}+k-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -2 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$28k^{2}+k=-\left(-2\right)$$

-2 kivonása a következőből: 0.

$$28k^{2}+k=2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 28.

$$\frac{28k^{2}+k}{28}=\frac{2}{28}$$

A(z) 28 értékkel való osztás eltünteti a(z) 28 értékkel való szorzást.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{2}{28}$$

A törtet (\frac{2}{28}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{1}{14}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{28} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{56}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{56} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{56} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{1}{14}+\frac{1}{3136}$$

\frac{1}{14} és \frac{1}{3136} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{225}{3136}$$

A(z) k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{225}{3136}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{3136}}$$

Egyszerűsítünk.

$$k+\frac{1}{56}=\frac{15}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{15}{56}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{56}.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$