27x^2+59x-21=0 megoldása

$$27 { x }^{ 2 } +59x-21=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54}\approx 0,311521488$$

$$x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}\approx -2,496706673$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$27x^{2}+59x-21=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 27 értéket a-ba, a(z) 59 értéket b-be és a(z) -21 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 27\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 59.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 27\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 27.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-108\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

Összeszorozzuk a következőket: -108 és -21.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481+2268}}{2\times 27}$$

Összeadjuk a következőket: 3481 és 2268.

$$x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{2\times 27}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 27.

$$x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -59 és \sqrt{5749}.

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54}). ± előjele negatív. \sqrt{5749} kivonása a következőből: -59.

$$x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54} x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$27x^{2}+59x-21=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 21.

$$27x^{2}+59x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -21 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$27x^{2}+59x=-\left(-21\right)$$

-21 kivonása a következőből: 0.

$$27x^{2}+59x=21$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 27.

$$\frac{27x^{2}+59x}{27}=\frac{21}{27}$$

A(z) 27 értékkel való osztás eltünteti a(z) 27 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x=\frac{21}{27}$$

A törtet (\frac{21}{27}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x=\frac{7}{9}$$

Elosztjuk a(z) \frac{59}{27} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{59}{54}. Ezután hozzáadjuk \frac{59}{54} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\left(\frac{59}{54}\right)^{2}=\frac{7}{9}+\left(\frac{59}{54}\right)^{2}$$

A(z) \frac{59}{54} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}=\frac{7}{9}+\frac{3481}{2916}$$

\frac{7}{9} és \frac{3481}{2916} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}=\frac{5749}{2916}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{59}{54}\right)^{2}=\frac{5749}{2916}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{59}{54}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5749}{2916}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{59}{54}=\frac{\sqrt{5749}}{54} x+\frac{59}{54}=-\frac{\sqrt{5749}}{54}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{59}{54}.

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54} x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$