27x^2+33x-120=0 megoldása

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1,583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2,806082918$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 27 értéket a-ba, a(z) 33 értéket b-be és a(z) -120 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Összeszorozzuk a következőket: -108 és -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

Összeadjuk a következőket: 1089 és 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -33 és 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

-33+3\sqrt{1561} elosztása a következővel: 54.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}). ± előjele negatív. 3\sqrt{1561} kivonása a következőből: -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

-33-3\sqrt{1561} elosztása a következővel: 54.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 120.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -120 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

-120 kivonása a következőből: 0.

$$27x^{2}+33x=120$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 27.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

A(z) 27 értékkel való osztás eltünteti a(z) 27 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

A törtet (\frac{33}{27}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

A törtet (\frac{120}{27}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

Elosztjuk a(z) \frac{11}{9} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{11}{18}. Ezután hozzáadjuk \frac{11}{18} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

A(z) \frac{11}{18} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

\frac{40}{9} és \frac{121}{324} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{11}{18}.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$