256x^2-32x+1=0 megoldása

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 256x^{2}+ax+bx+1 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 256.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -32.

$$a=-16 b=-16$$

Átírjuk az értéket (256x^{2}-32x+1) \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right) alakban.

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Kiemeljük a(z) 16x tényezőt az első, a(z) -1 tényezőt pedig a második csoportban.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 16x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Az egyenlet megoldásához elvégezzük ezt a műveletet: 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 256 értéket a-ba, a(z) -32 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Összeadjuk a következőket: 1024 és -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

-32 ellentettje 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

A törtet (\frac{32}{512}) leegyszerűsítjük 32 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{16}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

A(z) 256 értékkel való osztás eltünteti a(z) 256 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

A törtet (\frac{-32}{256}) leegyszerűsítjük 32 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{8} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{16}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{16} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{16} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

-\frac{1}{256} és \frac{1}{256} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

A(z) x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{16}.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

Megoldottuk az egyenletet. Azonosak a megoldások.

$$x=\frac{1}{16}$$