25x^2-60x+36=0 megoldása

$$25 x ^ { 2 } - 60 x + 36 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1,2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 25x^{2}+ax+bx+36 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-60 ab=25\times 36=900$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -60.

$$a=-30 b=-30$$

Átírjuk az értéket (25x^{2}-60x+36) \left(25x^{2}-30x\right)+\left(-30x+36\right) alakban.

$$\left(25x^{2}-30x\right)+\left(-30x+36\right)$$

A 5x a második csoportban lévő első és -6 faktort.

$$5x\left(5x-6\right)-6\left(5x-6\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x-6 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x-6\right)\left(5x-6\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(5x-6\right)^{2}$$

Az egyenlet megoldásához elvégezzük ezt a műveletet: 5x-6=0.

$$x=\frac{6}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$25x^{2}-60x+36=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 25 értéket a-ba, a(z) -60 értéket b-be és a(z) 36 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -60.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 25.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-100\times 36}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -100 és 36.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3600}}{2\times 25}$$

Összeadjuk a következőket: 3600 és -3600.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=-\frac{-60}{2\times 25}$$

-60 ellentettje 60.

$$x=\frac{60}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 25.

$$x=\frac{60}{50}$$

A törtet (\frac{60}{50}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{6}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$25x^{2}-60x+36=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 36.

$$25x^{2}-60x+36-36=-36$$

Ha kivonjuk a(z) 36 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$25x^{2}-60x=-36$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 25.

$$\frac{25x^{2}-60x}{25}=-\frac{36}{25}$$

A(z) 25 értékkel való osztás eltünteti a(z) 25 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{25}\right)x=-\frac{36}{25}$$

A törtet (\frac{-60}{25}) leegyszerűsítjük 5 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=-\frac{36}{25}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{12}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{6}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{6}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{36}{25}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{6}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{-36+36}{25}$$

-\frac{36}{25} és \frac{36}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=0$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{6}{5}=0 x-\frac{6}{5}=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{6}{5}.

$$x=\frac{6}{5} x=\frac{6}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet. Azonosak a megoldások.

$$x=\frac{6}{5}$$