25x^2-40x+16=0 megoldása

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 25x^{2}+ax+bx+16 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -40.

$$a=-20 b=-20$$

Átírjuk az értéket (25x^{2}-40x+16) \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right) alakban.

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Kiemeljük a(z) 5x tényezőt az első, a(z) -4 tényezőt pedig a második csoportban.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Az egyenlet megoldásához elvégezzük ezt a műveletet: 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 25 értéket a-ba, a(z) -40 értéket b-be és a(z) 16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -100 és 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Összeadjuk a következőket: 1600 és -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

-40 ellentettje 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

A törtet (\frac{40}{50}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{4}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 16.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Ha kivonjuk a(z) 16 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

A(z) 25 értékkel való osztás eltünteti a(z) 25 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

A törtet (\frac{-40}{25}) leegyszerűsítjük 5 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{8}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

-\frac{16}{25} és \frac{16}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

A(z) x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4}{5}.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet. Azonosak a megoldások.

$$x=\frac{4}{5}$$