25x^2-30x+9=0 megoldása

$$25 x ^ { 2 } - 30 x + 9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 25x^{2}+ax+bx+9 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -30.

$$a=-15 b=-15$$

Átírjuk az értéket (25x^{2}-30x+9) \left(25x^{2}-15x\right)+\left(-15x+9\right) alakban.

$$\left(25x^{2}-15x\right)+\left(-15x+9\right)$$

A 5x a második csoportban lévő első és -3 faktort.

$$5x\left(5x-3\right)-3\left(5x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x-3\right)\left(5x-3\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(5x-3\right)^{2}$$

Az egyenlet megoldásához elvégezzük ezt a műveletet: 5x-3=0.

$$x=\frac{3}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$25x^{2}-30x+9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 25 értéket a-ba, a(z) -30 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -100 és 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 25}$$

-30 ellentettje 30.

$$x=\frac{30}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 25.

$$x=\frac{30}{50}$$

A törtet (\frac{30}{50}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{3}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$25x^{2}-30x+9=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$25x^{2}-30x+9-9=-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$25x^{2}-30x=-9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 25.

$$\frac{25x^{2}-30x}{25}=-\frac{9}{25}$$

A(z) 25 értékkel való osztás eltünteti a(z) 25 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{25}\right)x=-\frac{9}{25}$$

A törtet (\frac{-30}{25}) leegyszerűsítjük 5 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x=-\frac{9}{25}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{6}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-9+9}{25}$$

-\frac{9}{25} és \frac{9}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=0$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{5}=0 x-\frac{3}{5}=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{5}.

$$x=\frac{3}{5} x=\frac{3}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet. Azonosak a megoldások.

$$x=\frac{3}{5}$$