25x^2-90x+77=0 megoldása

$$25 { x }^{ 2 } -90x+77=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1,4$$

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2,2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 25 értéket a-ba, a(z) -90 értéket b-be és a(z) 77 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 77}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -100 és 77.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-7700}}{2\times 25}$$

Összeadjuk a következőket: 8100 és -7700.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{400}}{2\times 25}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 400.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±20}{2\times 25}$$

-90 ellentettje 90.

$$x=\frac{90±20}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 25.

$$x=\frac{90±20}{50}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{90±20}{50}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 90 és 20.

$$x=\frac{110}{50}$$

A törtet (\frac{110}{50}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{11}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{90±20}{50}). ± előjele negatív. 20 kivonása a következőből: 90.

$$x=\frac{70}{50}$$

A törtet (\frac{70}{50}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{7}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 77.

$$25x^{2}-90x+77-77=-77$$

Ha kivonjuk a(z) 77 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$25x^{2}-90x=-77$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{77}{25}$$

A(z) 25 értékkel való osztás eltünteti a(z) 25 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{77}{25}$$

A törtet (\frac{-90}{25}) leegyszerűsítjük 5 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{77}{25}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{18}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{9}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{9}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{77}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{9}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-77+81}{25}$$

-\frac{77}{25} és \frac{81}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{4}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{2}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{2}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9}{5}.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$