25x^2+30x=12 megoldása

$$25 { x }^{ 2 } +30x=12$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}\approx 0,316515139$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}\approx -1,516515139$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$25x^{2}+30x=12$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 12.

$$25x^{2}+30x-12=12-12$$

Ha kivonjuk a(z) 12 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$25x^{2}+30x-12=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 25 értéket a-ba, a(z) 30 értéket b-be és a(z) -12 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -100 és -12.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1200}}{2\times 25}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és 1200.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2100}}{2\times 25}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2100.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 25.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -30 és 10\sqrt{21}.

$$x=\frac{10\sqrt{21}-30}{50}$$

-30+10\sqrt{21} elosztása a következővel: 50.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}). ± előjele negatív. 10\sqrt{21} kivonása a következőből: -30.

$$x=\frac{-10\sqrt{21}-30}{50}$$

-30-10\sqrt{21} elosztása a következővel: 50.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$25x^{2}+30x=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=\frac{12}{25}$$

A(z) 25 értékkel való osztás eltünteti a(z) 25 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=\frac{12}{25}$$

A törtet (\frac{30}{25}) leegyszerűsítjük 5 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{12}{25}$$

Elosztjuk a(z) \frac{6}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{12+9}{25}$$

\frac{12}{25} és \frac{9}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{21}{25}$$

A(z) x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{21}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{21}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{5}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$