25x^2+250x-15000=0 megoldása

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-30$$

$$x=20$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-600 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 10.

$$a=-20 b=30$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+10x-600) \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right) alakban.

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 30 faktort.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-20 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-20=0 és a x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 25 értéket a-ba, a(z) 250 értéket b-be és a(z) -15000 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -100 és -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Összeadjuk a következőket: 62500 és 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-250±1250}{50}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -250 és 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

1000 elosztása a következővel: 50.

$$x=20$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-250±1250}{50}). ± előjele negatív. 1250 kivonása a következőből: -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

-1500 elosztása a következővel: 50.

$$x=-30$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=20 x=-30$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15000.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -15000 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

-15000 kivonása a következőből: 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

A(z) 25 értékkel való osztás eltünteti a(z) 25 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

250 elosztása a következővel: 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

15000 elosztása a következővel: 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Elosztjuk a(z) 10 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 5. Ezután hozzáadjuk 5 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Összeadjuk a következőket: 600 és 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Tényezőkre x^{2}+10x+25. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$x=20 x=-30$$