25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2 megoldása

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(4+x\right)^{2}).

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 25 és 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 7 és 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (35-7x és 5+x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és 175. Az eredmény 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 25x^{2} és -7x^{2}. Az eredmény 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 295.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Kivonjuk a(z) 295 értékből a(z) 575 értéket. Az eredmény 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 45x^{2}.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: 18x^{2} és 45x^{2}. Az eredmény 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 63 értéket a-ba, a(z) 200 értéket b-be és a(z) 280 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 200.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Összeszorozzuk a következőket: -252 és 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Összeadjuk a következőket: 40000 és -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -200 és 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

-200+4i\sqrt{1910} elosztása a következővel: 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}). ± előjele negatív. 4i\sqrt{1910} kivonása a következőből: -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

-200-4i\sqrt{1910} elosztása a következővel: 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(4+x\right)^{2}).

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 25 és 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 7 és 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (35-7x és 5+x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és 175. Az eredmény 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 25x^{2} és -7x^{2}. Az eredmény 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 45x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Összevonjuk a következőket: 18x^{2} és 45x^{2}. Az eredmény 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 575.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Kivonjuk a(z) 575 értékből a(z) 295 értéket. Az eredmény -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

A(z) 63 értékkel való osztás eltünteti a(z) 63 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

A törtet (\frac{-280}{63}) leegyszerűsítjük 7 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Elosztjuk a(z) \frac{200}{63} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{100}{63}. Ezután hozzáadjuk \frac{100}{63} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

A(z) \frac{100}{63} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

-\frac{40}{9} és \frac{10000}{3969} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{100}{63}.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$