24x^2+6x-3=0 megoldása

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 8x^{2}+ax+bx-1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -8.

$$-1,8 -2,4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 2.

$$a=-2 b=4$$

Átírjuk az értéket (8x^{2}+2x-1) \left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right) alakban.

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

Emelje ki a(z) 2x elemet a(z) 8x^{2}-2x kifejezésből.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 4x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 4x-1=0 és a 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 24 értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Összeszorozzuk a következőket: -96 és -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±18}{48}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -6 és 18.

$$x=\frac{12}{48}$$

A törtet (\frac{12}{48}) leegyszerűsítjük 12 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±18}{48}). ± előjele negatív. 18 kivonása a következőből: -6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

A törtet (\frac{-24}{48}) leegyszerűsítjük 24 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

-3 kivonása a következőből: 0.

$$24x^{2}+6x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

A(z) 24 értékkel való osztás eltünteti a(z) 24 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

A törtet (\frac{6}{24}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

A törtet (\frac{3}{24}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{8}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

\frac{1}{8} és \frac{1}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{8}.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$