24x^2-38x+15=0 megoldása

$$24 { x }^{ 2 } -38x+15=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 24x^{2}+ax+bx+15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-38 ab=24\times 15=360$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -38.

$$a=-20 b=-18$$

Átírjuk az értéket (24x^{2}-38x+15) \left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right) alakban.

$$\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)$$

A 4x a második csoportban lévő első és -3 faktort.

$$4x\left(6x-5\right)-3\left(6x-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 6x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(6x-5\right)\left(4x-3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 6x-5=0 és a 4x-3=0.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 24 értéket a-ba, a(z) -38 értéket b-be és a(z) 15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 24.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Összeszorozzuk a következőket: -96 és 15.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Összeadjuk a következőket: 1444 és -1440.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 4.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2}{2\times 24}$$

-38 ellentettje 38.

$$x=\frac{38±2}{2\times 24}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 24.

$$x=\frac{38±2}{48}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{38±2}{48}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 38 és 2.

$$x=\frac{40}{48}$$

A törtet (\frac{40}{48}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{5}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{38±2}{48}). ± előjele negatív. 2 kivonása a következőből: 38.

$$x=\frac{36}{48}$$

A törtet (\frac{36}{48}) leegyszerűsítjük 12 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{3}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 15.

$$24x^{2}-38x+15-15=-15$$

Ha kivonjuk a(z) 15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$24x^{2}-38x=-15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 24.

$$\frac{24x^{2}-38x}{24}=-\frac{15}{24}$$

A(z) 24 értékkel való osztás eltünteti a(z) 24 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{38}{24}\right)x=-\frac{15}{24}$$

A törtet (\frac{-38}{24}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{15}{24}$$

A törtet (\frac{-15}{24}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{5}{8}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{19}{12} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{19}{24}. Ezután hozzáadjuk -\frac{19}{24} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{19}{24} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=-\frac{5}{8}+\frac{361}{576}$$

-\frac{5}{8} és \frac{361}{576} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=\frac{1}{576}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}=\frac{1}{576}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{576}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{19}{24}=\frac{1}{24} x-\frac{19}{24}=-\frac{1}{24}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{19}{24}.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$