24k^2+50k+24=0 megoldása

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Megoldás a(z) k változóra

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 12k^{2}+ak+bk+12 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 25.

$$a=9 b=16$$

Átírjuk az értéket (12k^{2}+25k+12) \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right) alakban.

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

A 3k a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 4k+3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 4k+3=0 és a 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 24 értéket a-ba, a(z) 50 értéket b-be és a(z) 24 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Összeszorozzuk a következőket: -96 és 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Összeadjuk a következőket: 2500 és -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-50±14}{48}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -50 és 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

A törtet (\frac{-36}{48}) leegyszerűsítjük 12 kivonásával és kiejtésével.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-50±14}{48}). ± előjele negatív. 14 kivonása a következőből: -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

A törtet (\frac{-64}{48}) leegyszerűsítjük 16 kivonásával és kiejtésével.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 24.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Ha kivonjuk a(z) 24 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

A(z) 24 értékkel való osztás eltünteti a(z) 24 értékkel való szorzást.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

A törtet (\frac{50}{24}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

-24 elosztása a következővel: 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Elosztjuk a(z) \frac{25}{12} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{25}{24}. Ezután hozzáadjuk \frac{25}{24} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

A(z) \frac{25}{24} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Tényezőkre k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Egyszerűsítünk.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{25}{24}.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$