21k^2+28k+4=0 megoldása

$$21 k ^ { 2 } + 28 k + 4 = 0$$

Megoldás a(z) k változóra

$$k=\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3}\approx -0,162714036$$

$$k=-\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3}\approx -1,170619297$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$21k^{2}+28k+4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 21 értéket a-ba, a(z) 28 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 21\times 4}}{2\times 21}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 28.

$$k=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 21\times 4}}{2\times 21}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 21.

$$k=\frac{-28±\sqrt{784-84\times 4}}{2\times 21}$$

Összeszorozzuk a következőket: -84 és 4.

$$k=\frac{-28±\sqrt{784-336}}{2\times 21}$$

Összeadjuk a következőket: 784 és -336.

$$k=\frac{-28±\sqrt{448}}{2\times 21}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 448.

$$k=\frac{-28±8\sqrt{7}}{2\times 21}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 21.

$$k=\frac{-28±8\sqrt{7}}{42}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-28±8\sqrt{7}}{42}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -28 és 8\sqrt{7}.

$$k=\frac{8\sqrt{7}-28}{42}$$

-28+8\sqrt{7} elosztása a következővel: 42.

$$k=\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-28±8\sqrt{7}}{42}). ± előjele negatív. 8\sqrt{7} kivonása a következőből: -28.

$$k=\frac{-8\sqrt{7}-28}{42}$$

-28-8\sqrt{7} elosztása a következővel: 42.

$$k=-\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$k=\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3} k=-\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$21k^{2}+28k+4=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$21k^{2}+28k+4-4=-4$$

Ha kivonjuk a(z) 4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$21k^{2}+28k=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 21.

$$\frac{21k^{2}+28k}{21}=-\frac{4}{21}$$

A(z) 21 értékkel való osztás eltünteti a(z) 21 értékkel való szorzást.

$$k^{2}+\frac{28}{21}k=-\frac{4}{21}$$

A törtet (\frac{28}{21}) leegyszerűsítjük 7 kivonásával és kiejtésével.

$$k^{2}+\frac{4}{3}k=-\frac{4}{21}$$

Elosztjuk a(z) \frac{4}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{2}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{2}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$k^{2}+\frac{4}{3}k+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{21}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{2}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$k^{2}+\frac{4}{3}k+\frac{4}{9}=-\frac{4}{21}+\frac{4}{9}$$

-\frac{4}{21} és \frac{4}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$k^{2}+\frac{4}{3}k+\frac{4}{9}=\frac{16}{63}$$

Tényezőkre k^{2}+\frac{4}{3}k+\frac{4}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(k+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{16}{63}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(k+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{63}}$$

Egyszerűsítünk.

$$k+\frac{2}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{21} k+\frac{2}{3}=-\frac{4\sqrt{7}}{21}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{2}{3}.

$$k=\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3} k=-\frac{4\sqrt{7}}{21}-\frac{2}{3}$$