20x^2-28x-1=0 megoldása

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 20 értéket a-ba, a(z) -28 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Összeszorozzuk a következőket: -80 és -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Összeadjuk a következőket: 784 és 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

-28 ellentettje 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 28 és 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

28+12\sqrt{6} elosztása a következővel: 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}). ± előjele negatív. 12\sqrt{6} kivonása a következőből: 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

28-12\sqrt{6} elosztása a következővel: 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

A(z) 20 értékkel való osztás eltünteti a(z) 20 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

A törtet (\frac{-28}{20}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{10}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

\frac{1}{20} és \frac{49}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

A(z) x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{10}.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$