20x^2+x-1>0 megoldása

$$20 x ^ { 2 } + x - 1 > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{1}{5},\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$20x^{2}+x-1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 20 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-1±9}{40}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±9}{40}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{1}{4}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$20\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (x-\frac{1}{5} és x+\frac{1}{4}) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy x-\frac{1}{5} és x+\frac{1}{4} eredménye egyaránt negatív.

$$x-\frac{1}{5}<0 x+\frac{1}{4}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x<-\frac{1}{4}.

$$x<-\frac{1}{4}$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{1}{5} és x+\frac{1}{4} eredménye egyaránt pozitív.

$$x+\frac{1}{4}>0 x-\frac{1}{5}>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x>\frac{1}{5}.

$$x>\frac{1}{5}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x<-\frac{1}{4}\text{; }x>\frac{1}{5}$$