20p^2+33p+16=6 megoldása

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

Megoldás a(z) p változóra

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0,4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 6.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Kivonjuk a(z) 6 értékből a(z) 16 értéket. Az eredmény 10.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 20p^{2}+ap+bp+10 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 33.

$$a=8 b=25$$

Átírjuk az értéket (20p^{2}+33p+10) \left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right) alakban.

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

A 4p a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5p+2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 5p+2=0 és a 4p+5=0.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 6.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

Ha kivonjuk a(z) 6 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

6 kivonása a következőből: 16.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 20 értéket a-ba, a(z) 33 értéket b-be és a(z) 10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 33.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 20.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

Összeszorozzuk a következőket: -80 és 10.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

Összeadjuk a következőket: 1089 és -800.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 289.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 20.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

Megoldjuk az egyenletet (p=\frac{-33±17}{40}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -33 és 17.

$$p=-\frac{16}{40}$$

A törtet (\frac{-16}{40}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (p=\frac{-33±17}{40}). ± előjele negatív. 17 kivonása a következőből: -33.

$$p=-\frac{50}{40}$$

A törtet (\frac{-50}{40}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 16.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

Ha kivonjuk a(z) 16 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

16 kivonása a következőből: 6.

$$20p^{2}+33p=-10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 20.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

A(z) 20 értékkel való osztás eltünteti a(z) 20 értékkel való szorzást.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

A törtet (\frac{-10}{20}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

Elosztjuk a(z) \frac{33}{20} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{33}{40}. Ezután hozzáadjuk \frac{33}{40} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

A(z) \frac{33}{40} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

-\frac{1}{2} és \frac{1089}{1600} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

Tényezőkre p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

Egyszerűsítünk.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{33}{40}.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$