20x^2-x-1=0 megoldása

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 20x^{2}+ax+bx-1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -1.

$$a=-5 b=4$$

Átírjuk az értéket (20x^{2}-x-1) \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right) alakban.

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Emelje ki a(z) 5x elemet a(z) 20x^{2}-5x kifejezésből.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 4x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 4x-1=0 és a 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 20 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Összeszorozzuk a következőket: -80 és -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

-1 ellentettje 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±9}{40}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

A törtet (\frac{10}{40}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±9}{40}). ± előjele negatív. 9 kivonása a következőből: 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

A törtet (\frac{-8}{40}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

A(z) 20 értékkel való osztás eltünteti a(z) 20 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{20} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{40}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{40} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{40} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

\frac{1}{20} és \frac{1}{1600} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{40}.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$