2+1/x^2-1 megoldása

$$2+ \frac{ 1 }{ { x }^{ 2 } -1 }$$

Kiértékelés

$$\frac{2x^{2}-1}{x^{2}-1}$$

A gyors megoldás lépései

Szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}-1 kifejezést.

$$2+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Mivel \frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} és \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Elvégezzük a képletben (2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1) szereplő szorzásokat.

$$\frac{2x^{2}+2x-2x-2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Összevonjuk a kifejezésben (2x^{2}+2x-2x-2+1) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{2x^{2}-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Kifejtjük a következőt: \left(x-1\right)\left(x+1\right).

$$\frac{2x^{2}-1}{x^{2}-1}$$

Differenciálás x szerint

$$-\frac{2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Lépések a hányados deriváltjára vonatkozó szabály használatával

Szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}-1 kifejezést.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Mivel \frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} és \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Elvégezzük a képletben (2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1) szereplő szorzásokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x^{2}+2x-2x-2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Összevonjuk a kifejezésben (2x^{2}+2x-2x-2+1) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x^{2}-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Vegyük a következőt: \left(x-1\right)\left(x+1\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x^{2}-1}{x^{2}-1})$$

Bármely két differenciálható függvény esetén a két függvény hányadosának deriváltja egyenlő a nevező szorozva a számláló deriváltjával mínusz a számláló szorozva a nevező deriváltjával, majd ez az eredmény osztva a nevező négyzetével.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{2}-1)-\left(2x^{2}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-1)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Egy polinom deriváltja a tagok deriváltjainak összege. Bármely konstans tag deriváltja 0. ax^{n} deriváltja nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\times 2\times 2x^{2-1}-\left(2x^{2}-1\right)\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Elvégezzük a számolást.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\times 4x^{1}-\left(2x^{2}-1\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Felbontjuk a zárójelet a disztributivitás felhasználásával.

$$\frac{x^{2}\times 4x^{1}-4x^{1}-\left(2x^{2}\times 2x^{1}-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Azonos alapú hatványok szorzásához összeadjuk a kitevőjüket.

$$\frac{4x^{2+1}-4x^{1}-\left(2\times 2x^{2+1}-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Elvégezzük a számolást.

$$\frac{4x^{3}-4x^{1}-\left(4x^{3}-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Megszüntetjük a felesleges zárójeleket.

$$\frac{4x^{3}-4x^{1}-4x^{3}-\left(-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Összevonjuk az egynemű kifejezéseket.

$$\frac{\left(4-4\right)x^{3}+\left(-4-\left(-2\right)\right)x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

4 kivonása ebből: 4, valamint -2 kivonása ebből: -4.

$$\frac{-2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Minden t tagra, t^{1}=t.

$$\frac{-2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$