2z^2-2z+5=0 megoldása

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -36.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

-2 ellentettje 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{2±6i}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

2+6i elosztása a következővel: 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{2±6i}{4}). ± előjele negatív. 6i kivonása a következőből: 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

2-6i elosztása a következővel: 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

-2 elosztása a következővel: 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Elosztjuk a(z) -1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

-\frac{5}{2} és \frac{1}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Tényezőkre z^{2}-z+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{2}.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$