2z=1-i/1+z+2i megoldása

$$2 z = \frac { 1 - i } { 1 + z } + 2 i$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)\approx 0,207106781+0,5i$$

$$z=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -1,207106781+0,5i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (z) értéke nem lehet -1, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: z+1.

$$2z\left(z+1\right)=1-i+\left(z+1\right)\times \left(2i\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2z és z+1.

$$2z^{2}+2z=1-i+\left(z+1\right)\times \left(2i\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: z+1 és 2i.

$$2z^{2}+2z=1-i+2iz+2i$$

Elvégezzük a képletben (1-i+2i) szereplő összeadásokat.

$$2z^{2}+2z=2iz+1+i$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2iz.

$$2z^{2}+2z-2iz=1+i$$

Összevonjuk a következőket: 2z és -2iz. Az eredmény \left(2-2i\right)z.

$$2z^{2}+\left(2-2i\right)z=1+i$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1+i.

$$2z^{2}+\left(2-2i\right)z-\left(1+i\right)=0$$

Összeszorozzuk a következőket: -1 és 1+i. Az eredmény -1-i.

$$2z^{2}+\left(2-2i\right)z+\left(-1-i\right)=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 2-2i értéket b-be és a(z) -1-i értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-2+2i±\sqrt{\left(2-2i\right)^{2}-4\times 2\left(-1-i\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2-2i.

$$z=\frac{-2+2i±\sqrt{-8i-4\times 2\left(-1-i\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$z=\frac{-2+2i±\sqrt{-8i-8\left(-1-i\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -1-i.

$$z=\frac{-2+2i±\sqrt{-8i+\left(8+8i\right)}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: -8i és 8+8i.

$$z=\frac{-2+2i±\sqrt{8}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 8.

$$z=\frac{-2+2i±2\sqrt{2}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$z=\frac{-2+2i±2\sqrt{2}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-2+2i±2\sqrt{2}}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2+2i és 2\sqrt{2}.

$$z=\frac{-2+2i+2\sqrt{2}}{4}$$

-2+2i+2\sqrt{2} elosztása a következővel: 4.

$$z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-2+2i±2\sqrt{2}}{4}). ± előjele negatív. 2\sqrt{2} kivonása a következőből: -2+2i.

$$z=\frac{-2+2i-2\sqrt{2}}{4}$$

-2+2i-2\sqrt{2} elosztása a következővel: 4.

$$z=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right) z=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (z) értéke nem lehet -1, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: z+1.

$$2z\left(z+1\right)=1-i+\left(z+1\right)\times \left(2i\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2z és z+1.

$$2z^{2}+2z=1-i+\left(z+1\right)\times \left(2i\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: z+1 és 2i.

$$2z^{2}+2z=1-i+2iz+2i$$

Elvégezzük a képletben (1-i+2i) szereplő összeadásokat.

$$2z^{2}+2z=2iz+1+i$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2iz.

$$2z^{2}+2z-2iz=1+i$$

Összevonjuk a következőket: 2z és -2iz. Az eredmény \left(2-2i\right)z.

$$2z^{2}+\left(2-2i\right)z=1+i$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2z^{2}+\left(2-2i\right)z}{2}=\frac{1+i}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$z^{2}+\frac{2-2i}{2}z=\frac{1+i}{2}$$

2-2i elosztása a következővel: 2.

$$z^{2}+\left(1-i\right)z=\frac{1+i}{2}$$

1+i elosztása a következővel: 2.

$$z^{2}+\left(1-i\right)z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Elosztjuk a(z) 1-i értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$z^{2}+\left(1-i\right)z+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)^{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i.

$$z^{2}+\left(1-i\right)z-\frac{1}{2}i=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}i$$

Összeadjuk a következőket: \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i és -\frac{1}{2}i.

$$z^{2}+\left(1-i\right)z-\frac{1}{2}i=\frac{1}{2}$$

Tényezőkre z^{2}+\left(1-i\right)z-\frac{1}{2}i. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(z+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(z+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$z+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} z+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i.

$$z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right) z=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{2}}{2}$$