2y^2+y-21=0 megoldása

$$2 y ^ { 2 } + y - 21 = 0$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$y=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2y^{2}+ay+by-21 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=1 ab=2\left(-21\right)=-42$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 1.

$$a=-6 b=7$$

Átírjuk az értéket (2y^{2}+y-21) \left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right) alakban.

$$\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)$$

A 2y a második csoportban lévő első és 7 faktort.

$$2y\left(y-3\right)+7\left(y-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) y-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(y-3\right)\left(2y+7\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a y-3=0 és a 2y+7=0.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -21 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -21.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 168.

$$y=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$y=\frac{-1±13}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$y=\frac{-1±13}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-1±13}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1 és 13.

$$y=\frac{12}{4}$$

12 elosztása a következővel: 4.

$$y=3$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-1±13}{4}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: -1.

$$y=-\frac{14}{4}$$

A törtet (\frac{-14}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 21.

$$2y^{2}+y-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -21 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2y^{2}+y=-\left(-21\right)$$

-21 kivonása a következőből: 0.

$$2y^{2}+y=21$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{21}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{21}{2}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{21}{2}+\frac{1}{16}$$

\frac{21}{2} és \frac{1}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{169}{16}$$

Tényezőkre y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{4}.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$