2x-3y=-1text{and}y=x-1 megoldása

$$2 x - 3 y = - 1 \text { and } y = x - 1$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=4$$

$$y=3$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$y-x=-1$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x-3y=-1$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3y.

$$2x=3y-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és 3y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{3y-1}{2} értéket x helyére a másik, -x+y=-1 egyenletben.

$$-\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=-1$$

Összeszorozzuk a következőket: -1 és \frac{3y-1}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}+y=-1$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{3y}{2} és y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=-1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: -2.

$$y=3$$

A(z) x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{2} és 3.

$$x=\frac{9-1}{2}$$

-\frac{1}{2} és \frac{9}{2} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=4$$

A rendszer megoldva.

$$x=4,y=3$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$y-x=-1$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-1\right)-3\left(-1\right)\\-\left(-1\right)-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=4,y=3$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$y-x=-1$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

2x és -x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: -1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$-2x-\left(-3y\right)=-\left(-1\right),2\left(-1\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$-2x+3y=1,-2x+2y=-2$$

-2x+2y=-2 kivonása a következőből: -2x+3y=1: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$-2x+2x+3y-2y=1+2$$

Összeadjuk a következőket: -2x és 2x. -2x és 2x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$3y-2y=1+2$$

Összeadjuk a következőket: 3y és -2y.

$$y=1+2$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 2.

$$y=3$$

A(z) -x+y=-1 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$-x+3=-1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$-x=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$x=4$$

A rendszer megoldva.

$$x=4,y=3$$