2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0 megoldása

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x-3y+10=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$2x-3y=-10$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3y.

$$2x=3y-10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{3y}{2}-5 értéket x helyére a másik, 5x-y+4=0 egyenletben.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Összeszorozzuk a következőket: 5 és \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Összeadjuk a következőket: \frac{15y}{2} és -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Összeadjuk a következőket: -25 és 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 21.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{13}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=\frac{42}{13}$$

A(z) x=\frac{3}{2}y-5 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{42}{13}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{2} és \frac{42}{13}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Összeadjuk a következőket: -5 és \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

A rendszer megoldva.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

2x és 5x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 5, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Egyszerűsítünk.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

10x-2y+8=0 kivonása a következőből: 10x-15y+50=0: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Összeadjuk a következőket: 10x és -10x. 10x és -10x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Összeadjuk a következőket: -15y és 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Összeadjuk a következőket: 50 és -8.

$$-13y+42=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 42.

$$-13y=-42$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

A(z) 5x-y+4=0 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{42}{13}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{42}{13} és 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{10}{13}.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

A rendszer megoldva.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$