2x^4-7x^3-7x^2+35x-15=0 megoldása

$$2 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } - 7 x ^ { 2 } + 35 x - 15 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}\approx -2,236067977$$

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -15 állandónak, és q osztója a(z) 2 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{2},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 2x^{4}-7x^{3}-7x^{2}+35x-15 értéket a(z) x-3 értékkel. Az eredmény 2x^{3}-x^{2}-10x+5. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$2x^{3}-x^{2}-10x+5=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 5 állandónak, és q osztója a(z) 2 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{2},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=\frac{1}{2}$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 2x^{3}-x^{2}-10x+5 értéket a(z) 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 értékkel. Az eredmény x^{2}-5. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-5=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{0±2\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}-5=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=3 x=\frac{1}{2} x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$