2x^2-x-36=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } - x - 36 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-4$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-36 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -1.

$$a=-9 b=8$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}-x-36) \left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 4 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(2x-9\right)+4\left(2x-9\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-9 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-9\right)\left(x+4\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 2x-9=0 és x+4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -36 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -36.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 288.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 289.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 2}$$

-1 ellentettje 1.

$$x=\frac{1±17}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{1±17}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±17}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és 17.

$$x=\frac{18}{4}$$

A törtet (\frac{18}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{9}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±17}{4}). ± előjele negatív. 17 kivonása a következőből: 1.

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 elosztása a következővel: 4.

$$x=-4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 36.

$$2x^{2}-x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -36 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-x=-\left(-36\right)$$

-36 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}-x=36$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{36}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

36 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Összeadjuk a következőket: 18 és \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

A(z) x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{4}.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$