2x^2-x-15=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -1.

$$a=-6 b=5$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}-x-15) \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-3=0 és a 2x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

-1 ellentettje 1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±11}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és 11.

$$x=\frac{12}{4}$$

12 elosztása a következővel: 4.

$$x=3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±11}{4}). ± előjele negatív. 11 kivonása a következőből: 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

A törtet (\frac{-10}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

-15 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}-x=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

\frac{15}{2} és \frac{1}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{4}.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$