2x^2-90x-675=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } - 90 x - 675 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{15 \sqrt{15} + 45}{2} \approx 51,547375097$$

$$x=\frac{45-15\sqrt{15}}{2}\approx -6,547375097$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-90x-675=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -90 értéket b-be és a(z) -675 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 2\left(-675\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 2\left(-675\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8\left(-675\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -675.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100+5400}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 8100 és 5400.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{13500}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 13500.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±30\sqrt{15}}{2\times 2}$$

-90 ellentettje 90.

$$x=\frac{90±30\sqrt{15}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{90±30\sqrt{15}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{90±30\sqrt{15}}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 90 és 30\sqrt{15}.

$$x=\frac{30\sqrt{15}+90}{4}$$

90+30\sqrt{15} elosztása a következővel: 4.

$$x=\frac{15\sqrt{15}+45}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{90±30\sqrt{15}}{4}). ± előjele negatív. 30\sqrt{15} kivonása a következőből: 90.

$$x=\frac{90-30\sqrt{15}}{4}$$

90-30\sqrt{15} elosztása a következővel: 4.

$$x=\frac{45-15\sqrt{15}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{15\sqrt{15}+45}{2} x=\frac{45-15\sqrt{15}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-90x-675=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 675.

$$2x^{2}-90x-675-\left(-675\right)=-\left(-675\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -675 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-90x=-\left(-675\right)$$

-675 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}-90x=675$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-90x}{2}=\frac{675}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{2}\right)x=\frac{675}{2}$$

-90 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-45x=\frac{675}{2}$$

Elosztjuk a(z) -45 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{45}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{45}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{675}{2}+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{45}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{675}{2}+\frac{2025}{4}$$

\frac{675}{2} és \frac{2025}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{3375}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-45x+\frac{2025}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{3375}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3375}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{15\sqrt{15}}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{15\sqrt{15}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{45}{2}.

$$x=\frac{15\sqrt{15}+45}{2} x=\frac{45-15\sqrt{15}}{2}$$