2x^2-9x+5=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 5 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{41} + 9}{4} \approx 3,850781059$$

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}\approx 0,649218941$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -9 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 5}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-40}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és -40.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

-9 ellentettje 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 9 és \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}). ± előjele negatív. \sqrt{41} kivonása a következőből: 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$2x^{2}-9x+5-5=-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-9x=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{5}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{9}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{9}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{9}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{9}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

-\frac{5}{2} és \frac{81}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{41}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9}{4}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$