2x^2-3x-5=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 5 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-5 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -10.

$$1,-10 2,-5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -3.

$$a=-5 b=2$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}-3x-5) \left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right)$$

Emelje ki a(z) x elemet a(z) 2x^{2}-5x kifejezésből.

$$x\left(2x-5\right)+2x-5$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 2x-5=0 és x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -3 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

-3 ellentettje 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{3±7}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±7}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 3 és 7.

$$x=\frac{10}{4}$$

A törtet (\frac{10}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±7}{4}). ± előjele negatív. 7 kivonása a következőből: 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

-4 elosztása a következővel: 4.

$$x=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$2x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

-5 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}-3x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{3}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

\frac{5}{2} és \frac{9}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

A(z) x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{4}.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$