2x^2-2x-12=28 megoldása

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-4$$

$$x=5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 28.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Kivonjuk a(z) 28 értékből a(z) -12 értéket. Az eredmény -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-20 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -1.

$$a=-5 b=4$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-x-20) \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right) alakban.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 4 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-5=0 és x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 28.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Ha kivonjuk a(z) 28 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

28 kivonása a következőből: -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -40 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±18}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

20 elosztása a következővel: 4.

$$x=5$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±18}{4}). ± előjele negatív. 18 kivonása a következőből: 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 elosztása a következővel: 4.

$$x=-4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=5 x=-4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 12.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -12 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

-12 kivonása a következőből: 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

-2 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

40 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-x=20$$

Elosztjuk a(z) -1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 20 és \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

A(z) x^{2}-x+\frac{1}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=5 x=-4$$