2x^2-2x-1=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

2+2\sqrt{3} elosztása a következővel: 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}). ± előjele negatív. 2\sqrt{3} kivonása a következőből: 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

2-2\sqrt{3} elosztása a következővel: 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

-2 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Elosztjuk a(z) -1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{2} és \frac{1}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$