2x^2-10x+7=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } - 10 x + 7 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{11} + 5}{2} \approx 4,158312395$$

$$x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}\approx 0,841687605$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-10x+7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -10 értéket b-be és a(z) 7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-8\times 7}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 7.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-56}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és -56.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{44}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}}{2\times 2}$$

-10 ellentettje 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{11}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{10±2\sqrt{11}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±2\sqrt{11}}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 10 és 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}+10}{4}$$

10+2\sqrt{11} elosztása a következővel: 4.

$$x=\frac{\sqrt{11}+5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±2\sqrt{11}}{4}). ± előjele negatív. 2\sqrt{11} kivonása a következőből: 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{11}}{4}$$

10-2\sqrt{11} elosztása a következővel: 4.

$$x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{11}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-10x+7=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 7.

$$2x^{2}-10x+7-7=-7$$

Ha kivonjuk a(z) 7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-10x=-7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-10x}{2}=-\frac{7}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{2}\right)x=-\frac{7}{2}$$

-10 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-5x=-\frac{7}{2}$$

Elosztjuk a(z) -5 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{7}{2}+\frac{25}{4}$$

-\frac{7}{2} és \frac{25}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{11}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{11}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{11}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}$$