2x^2+9x-1=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } + 9 x - 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}\approx 0.108495283$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}\approx -4.608495283$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 9 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+8}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és 8.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -9 és \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}). ± előjele negatív. \sqrt{89} kivonása a következőből: -9.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$2x^{2}+9x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+9x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}+9x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=\frac{1}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{1}{2}$$

Elosztjuk a(z) \frac{9}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{9}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{9}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{9}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{2}+\frac{81}{16}$$

\frac{1}{2} és \frac{81}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{89}{16}$$

A(z) x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{89}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{89}}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{89}}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{9}{4}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$