2x^2+5x-3>0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\infty,-3\right)\cup \left(\frac{1}{2},\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$2x^{2}+5x-3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-5±7}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±7}{4}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{1}{2} x=-3$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+3\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (x-\frac{1}{2} és x+3) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy x-\frac{1}{2} és x+3 eredménye egyaránt negatív.

$$x-\frac{1}{2}<0 x+3<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x<-3.

$$x<-3$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{1}{2} és x+3 eredménye egyaránt pozitív.

$$x+3>0 x-\frac{1}{2}>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x>\frac{1}{2}.

$$x>\frac{1}{2}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x<-3\text{; }x>\frac{1}{2}$$