2x^2+4x+11=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } + 4 x + 11 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1\approx -1+2,121320344i$$

$$x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1\approx -1-2,121320344i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+4x+11=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) 11 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\times 11}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\times 11}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\times 11}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 11.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-88}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és -88.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-72}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -72.

$$x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 6i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+6\sqrt{2}i}{4}$$

-4+6i\sqrt{2} elosztása a következővel: 4.

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{4}). ± előjele negatív. 6i\sqrt{2} kivonása a következőből: -4.

$$x=\frac{-6\sqrt{2}i-4}{4}$$

-4-6i\sqrt{2} elosztása a következővel: 4.

$$x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+4x+11=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 11.

$$2x^{2}+4x+11-11=-11$$

Ha kivonjuk a(z) 11 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+4x=-11$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=-\frac{11}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=-\frac{11}{2}$$

4 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}+2x=-\frac{11}{2}$$

Elosztjuk a(z) 2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 1. Ezután hozzáadjuk 1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-\frac{11}{2}+1^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+1=-\frac{11}{2}+1$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{11}{2} és 1.

$$x^{2}+2x+1=-\frac{9}{2}$$

Tényezőkre x^{2}+2x+1. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+1\right)^{2}=-\frac{9}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+1=\frac{3\sqrt{2}i}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$