2x^2+3x-90=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-90 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 3.

$$a=-12 b=15$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}+3x-90) \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 15 faktort.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-6 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-6=0 és a 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -90 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±27}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

24 elosztása a következővel: 4.

$$x=6$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±27}{4}). ± előjele negatív. 27 kivonása a következőből: -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

A törtet (\frac{-30}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 90.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -90 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

-90 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

90 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Elosztjuk a(z) \frac{3}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Összeadjuk a következőket: 45 és \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{4}.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$