2x^2+3x-20=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-20 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 3.

$$a=-5 b=8$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}+3x-20) \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 4 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 2x-5=0 és x+4=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -20 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±13}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

A törtet (\frac{10}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±13}{4}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: -3.

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 elosztása a következővel: 4.

$$x=-4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 20.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -20 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

-20 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}+3x=20$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

20 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

Elosztjuk a(z) \frac{3}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Összeadjuk a következőket: 10 és \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

A(z) x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{4}.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$