2x^2+3x+17=1 megoldása

$$2 x ^ { 2 } + 3 x + 17 = 1$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4}\approx -0,75+2,727178029i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}\approx -0,75-2,727178029i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+3x+17=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$2x^{2}+3x+17-1=1-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+3x+17-1=0$$

1 kivonása a következőből: 17.

$$2x^{2}+3x+16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) 16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 16}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-128}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és -128.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-119}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -119.

$$x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és i\sqrt{119}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{4}). ± előjele negatív. i\sqrt{119} kivonása a következőből: -3.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4} x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+3x+17=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 17.

$$2x^{2}+3x+17-17=1-17$$

Ha kivonjuk a(z) 17 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+3x=1-17$$

17 kivonása a következőből: 1.

$$2x^{2}+3x=-16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=-\frac{16}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{16}{2}$$

-16 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-8$$

Elosztjuk a(z) \frac{3}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-8+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-8+\frac{9}{16}$$

Összeadjuk a következőket: -8 és \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{119}{16}$$

A(z) x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{119}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{119}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{119}i}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{4}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4} x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}$$