2x^2+15x=8x-5 megoldása

$$2 x ^ { 2 } + 15 x = 8 x - 5$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8x.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Összevonjuk a következőket: 15x és -8x. Az eredmény 7x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 5.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx+5 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 10.

$$1,10 2,5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+10=11 2+5=7$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 7.

$$a=2 b=5$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}+7x+5) \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right) alakban.

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Kiemeljük a(z) 2x tényezőt az első, a(z) 5 tényezőt pedig a második csoportban.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x+1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x+1=0 és 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8x.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Összevonjuk a következőket: 15x és -8x. Az eredmény 7x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 5.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 7 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±3}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -7 és 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

-4 elosztása a következővel: 4.

$$x=-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±3}{4}). ± előjele negatív. 3 kivonása a következőből: -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

A törtet (\frac{-10}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8x.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Összevonjuk a következőket: 15x és -8x. Az eredmény 7x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Elosztjuk a(z) \frac{7}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

-\frac{5}{2} és \frac{49}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

A(z) x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{4}.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$