2x+y=1text{and}x-y=-4 megoldása

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=-1$$

$$y=3$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x+y=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$2x=-y+1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-y+1}{2} értéket x helyére a másik, x-y=-4 egyenletben.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{y}{2} és -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: -\frac{3}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=3$$

A(z) x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{2} és 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

\frac{1}{2} és -\frac{3}{2} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-1$$

A rendszer megoldva.

$$x=-1,y=3$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=-1,y=3$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

2x és x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

2x-2y=-8 kivonása a következőből: 2x+y=1: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Összeadjuk a következőket: 2x és -2x. 2x és -2x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$y+2y=1+8$$

Összeadjuk a következőket: y és 2y.

$$3y=1+8$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 8.

$$3y=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$y=3$$

A(z) x-y=-4 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x-3=-4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$x=-1$$

A rendszer megoldva.

$$x=-1,y=3$$