2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4 megoldása

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x+3y=6$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3y.

$$2x=-3y+6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Behelyettesítjük a(z) -\frac{3y}{2}+3 értéket x helyére a másik, 6x-5y=4 egyenletben.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Összeszorozzuk a következőket: 6 és -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Összeadjuk a következőket: -9y és -5y.

$$-14y+18=4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 18.

$$-14y=-14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -14.

$$y=1$$

A(z) x=-\frac{3}{2}y+3 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Összeadjuk a következőket: 3 és -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

2x és 6x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 6, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Egyszerűsítünk.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

12x-10y=8 kivonása a következőből: 12x+18y=36: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Összeadjuk a következőket: 12x és -12x. 12x és -12x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$18y+10y=36-8$$

Összeadjuk a következőket: 18y és 10y.

$$28y=36-8$$

Összeadjuk a következőket: 36 és -8.

$$28y=28$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 28.

$$y=1$$

A(z) 6x-5y=4 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$6x-5=4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$6x=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$