2n^2-7n-345=0 megoldása

$$2 n ^ { 2 } - 7 n - 345 = 0$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n = -\frac{23}{2} = -11\frac{1}{2} = -11,5$$

$$n=15$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2n^{2}+an+bn-345 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-7 ab=2\left(-345\right)=-690$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -690.

$$1,-690 2,-345 3,-230 5,-138 6,-115 10,-69 15,-46 23,-30$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-690=-689 2-345=-343 3-230=-227 5-138=-133 6-115=-109 10-69=-59 15-46=-31 23-30=-7$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-30 b=23$$

Átírjuk az értéket (2n^{2}-7n-345) \left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right) alakban.

$$\left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right)$$

A 2n a második csoportban lévő első és 23 faktort.

$$2n\left(n-15\right)+23\left(n-15\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) n-15 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(n-15\right)\left(2n+23\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a n-15=0 és a 2n+23=0.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) -345 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -345.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+2760}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 2760.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{2809}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2809.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±53}{2\times 2}$$

-7 ellentettje 7.

$$n=\frac{7±53}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$n=\frac{7±53}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{7±53}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és 53.

$$n=\frac{60}{4}$$

60 elosztása a következővel: 4.

$$n=15$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{7±53}{4}). ± előjele negatív. 53 kivonása a következőből: 7.

$$n=-\frac{46}{4}$$

A törtet (\frac{-46}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$n=-\frac{23}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 345.

$$2n^{2}-7n-345-\left(-345\right)=-\left(-345\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -345 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2n^{2}-7n=-\left(-345\right)$$

-345 kivonása a következőből: 0.

$$2n^{2}-7n=345$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2n^{2}-7n}{2}=\frac{345}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n=\frac{345}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{345}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{345}{2}+\frac{49}{16}$$

\frac{345}{2} és \frac{49}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{2809}{16}$$

Tényezőkre n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{2809}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2809}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n-\frac{7}{4}=\frac{53}{4} n-\frac{7}{4}=-\frac{53}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{4}.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$