2k^2+9k=-7 megoldása

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Megoldás a(z) k változóra

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 7.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2k^{2}+ak+bk+7 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 14.

$$1,14 2,7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+14=15 2+7=9$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 9.

$$a=2 b=7$$

Átírjuk az értéket (2k^{2}+9k+7) \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right) alakban.

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Kiemeljük a(z) 2k tényezőt az első, a(z) 7 tényezőt pedig a második csoportban.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) k+1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához k+1=0 és 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

-7 kivonása a következőből: 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 9 értéket b-be és a(z) 7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-9±5}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -9 és 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

-4 elosztása a következővel: 4.

$$k=-1$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-9±5}{4}). ± előjele negatív. 5 kivonása a következőből: -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

A törtet (\frac{-14}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Elosztjuk a(z) \frac{9}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{9}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{9}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{9}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

-\frac{7}{2} és \frac{81}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

A(z) k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{9}{4}.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$